Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отмечены точки M и N так, что 
и 
а четырехугольники AMND и BMNC вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.
Продолжим прямую BM до пересечения с прямой AD в некоторой точке K и обозначим
(см. рисунок). Тогда 
—
Далее, 
(накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BK). Поскольку четырехугольник AMND вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому 
Аналогично из того, что четырехугольник BMNC вписанный, следует равенство 
Следовательно,
Кроме того, по условию 
и 
поэтому треугольники AMB и CND равны (по двум сторонам и углу между ними), откуда 
то есть трапеция ABCD равнобедренная. Отсюда следует, что прямая l, проходящая через середины ее оснований AD и BC, перпендикулярна этим основаниям.
Заметим, что центр окружности, в которую вписан четырехугольник AMND, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, то есть на прямой l. Аналогично центр окружности, в которую вписан четырехугольник BMNC, также лежит на прямой l. Отрезок MN является общей хордой для этих двух окружностей, поэтому прямая l, соединяющая их центры, перпендикулярна также и прямой MN. Итак, основания трапеции и прямая MN перпендикулярны одной и той же прямой l и поэтому параллельны.
Комментарий.
Равенство углов и 
можно доказать и другими способами. Например, так: пользуясь тем, что четырехугольники AMND и BMNC вписанные, а углы 
и 
в сумме дают 180°, получаем
