сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Внут­ри тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC от­ме­че­ны точки M и N так, что AM = CN и BM = DN, а че­ты­рех­уголь­ни­ки AMND и BMNC впи­сан­ные. До­ка­жи­те, что пря­мая MN па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­дол­жим пря­мую BM до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в не­ко­то­рой точке K и обо­зна­чим \angle M A K= альфа , \angle A K M= бета (см. ри­су­нок). Тогда \angle A M B  — внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка AMK при вер­ши­не M, по­это­му \angle A M B= альфа плюс бета .

Далее, \angle K B C=\angle A K B= бета (на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей BK). По­сколь­ку че­ты­рех­уголь­ник AMND впи­сан­ный, сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, по­это­му \angle M N D=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа . Ана­ло­гич­но из того, что че­ты­рех­уголь­ник BMNC впи­сан­ный, сле­ду­ет ра­вен­ство \angle M N C=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус бета . Сле­до­ва­тель­но,

\angle C N D=360 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle M N C минус \angle M N D= альфа плюс бета =\angle A M B .

Кроме того, по усло­вию A M=C N и B M=D N, по­это­му тре­уголь­ни­ки AMB и CND равны (по двум сто­ро­нам и углу между ними), от­ку­да A B=C D, то есть тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная. От­сю­да сле­ду­ет, что пря­мая l, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ее ос­но­ва­ний AD и BC, пер­пен­ди­ку­ляр­на этим ос­но­ва­ни­ям.

За­ме­тим, что центр окруж­но­сти, в ко­то­рую впи­сан че­ты­рех­уголь­ник AMND, лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку AD, то есть на пря­мой l. Ана­ло­гич­но центр окруж­но­сти, в ко­то­рую впи­сан че­ты­рех­уголь­ник BMNC, также лежит на пря­мой l. От­ре­зок MN яв­ля­ет­ся общей хор­дой для этих двух окруж­но­стей, по­это­му пря­мая l, со­еди­ня­ю­щая их цен­тры, пер­пен­ди­ку­ляр­на также и пря­мой MN. Итак, ос­но­ва­ния тра­пе­ции и пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ны одной и той же пря­мой l и по­это­му па­рал­лель­ны.

 

Ком­мен­та­рий.

Ра­вен­ство углов \angle A M B и \angle C N D можно до­ка­зать и дру­ги­ми спо­со­ба­ми. На­при­мер, так: поль­зу­ясь тем, что че­ты­рех­уголь­ни­ки AMND и BMNC впи­сан­ные, а углы \angle B C D и \angle A D C в сумме дают 180°, по­лу­ча­ем

\angle A M B =360 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle B M N минус \angle A M N=360 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle B C N пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle A D N пра­вая круг­лая скоб­ка =
=\angle B C N плюс \angle A D N= левая круг­лая скоб­ка \angle B C D минус \angle N C D пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка \angle A D C минус \angle N D C пра­вая круг­лая скоб­ка =180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle N C D минус \angle N D C=\angle C N D.