Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя ее точками было: а) меньше 
б) меньше 
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
а) Выберем в кубе три ребра, имеющих общую вершину. Проведем первые две плоскости перпендикулярно первому ребру так, чтобы оно делилось этими плоскостями на три равные части. Третью плоскость проведем перпендикулярно второму ребру через его середину. Четвертую плоскость проведем перпендикулярно третьему ребру через его середину. Тогда куб разрежется на 12 одинаковых прямоугольных параллелепипедов со сторонами
и 
как показано на рисунке. Расстояние между любыми двумя точками прямоугольного параллелепипеда не превосходит его диагонали. Длины диагоналей всех 12 частей, на которые разрезан куб, равны
Поскольку 
имеют место неравенства
и 
Следовательно, при указанном разрезании для каждой из частей расстояние между любыми двумя ее точками меньше 
б) Пусть куб разрезан на 12 одинаковых прямоугольных параллелепипедов, как это сделано в решении пункта а). Отметим 18 вершин этих параллелепипедов так, чтобы никакие две из них не являлись концами одного ребра ни одного из этих параллелепипедов (см. рисунок). Тогда расстояние между любыми двумя отмеченными вершинами не меньше некоторой диагонали грани параллелепипеда со сторонами и а значит, не меньше
Поскольку
имеют место неравенства
и 
Таким образом, расстояние между любыми двумя из отмеченных вершин больше 
Предположим, что куб разрезан на части какими-нибудь четырьмя плоскостями. Нетрудно видеть, что три плоскости могут разрезать куб не более чем на 8 частей. При этом четвертая плоскость может разрезать каждую из этих частей не более чем на две новые части. Следовательно, четыре плоскости могут разрезать куб не более чем на 16 частей. (На самом деле таких частей может быть не более 15, предлагаем заинтересованному читателю доказать это самостоятельно.) Значит, какие-нибудь две из отмеченных ранее вершин обязательно попадут в одну из частей. Поэтому при любом разрезании единичного куба четырьмя плоскостями найдется такая часть и такие две ее точки, что расстояние между этими точками больше
Ответ: а) можно; б) нельзя.