а)  В самом деле, пусть A₁A₂ ..., A₁₄  — пра­виль­ный 14-уголь­ник (см. ри­су­нок). От­ме­тим 6 его вер­шин: A₁, A₂, A₃, A₄, A₈, A₉, A₁₁. По­сколь­ку пра­виль­ный 14-уголь­ник впи­сан в окруж­ность, а па­рал­лель­ные пря­мые вы­се­ка­ют на ней рав­ные дуги, за­клю­ча­ем, что если не­ко­то­рые два от­рез­ка с кон­ца­ми в вер­ши­нах этого мно­го­уголь­ни­ка па­рал­лель­ны, то между ними с двух сто­рон лежит рав­ное число сто­рон 14-уголь­ни­ка. Из от­рез­ков с кон­ца­ми в от­ме­чен­ных 6 вер­ши­нах этим свой­ством об­ла­да­ют толь­ко пары от­рез­ков A₁A₂ и A₈A₉, A₂A₄ и A₉A₁₁, A₁A₄ и A₈A₁₁, A₄A₈ и A₁A₁₁, A₄A₉ и A₂A₁₁, A₁A₉ и A₂A₈. Пе­ре­чис­лен­ные пары от­рез­ков яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми трех па­рал­ле­ло­грам­мов, впи­сан­ных в окруж­ность, то есть пря­мо­уголь­ни­ков.

б)  До­ка­жем, что какие бы семь вер­шин пра­виль­но­го 14-уголь­ни­ка ни были от­ме­че­ны, все­гда най­дет­ся тра­пе­ция с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках. Про­ве­дем пря­мые через все­воз­мож­ные пары вер­шин пра­виль­но­го 14-уголь­ни­ка. По­ка­жем, что среди этих пря­мых можно вы­брать 14 по­пар­но не па­рал­лель­ных, а среди любых 15 пря­мых хотя бы две будут па­рал­лель­ны (если пря­мые па­рал­лель­ны, то будем далее го­во­рить, что они имеют одно на­прав­ле­ние). В самом деле, пря­мые A₁A₂, A₃A₁₄, ..., A₈A₉ имеют одно на­прав­ле­ние. Пря­мые A₁A₁₄, A₂A₁₃, ..., A₇A₈ также имеют одно на­прав­ле­ние, от­лич­ное от уже рас­смот­рен­но­го, по­сколь­ку каж­дая из них по­лу­ча­ет­ся из со­от­вет­ству­ю­щей пря­мой пер­во­го на­прав­ле­ния по­во­ро­том на угол во­круг цен­тра 14-уголь­ни­ка. По­во­ра­чи­вая эти пря­мые на тот же угол далее, по­лу­чим еще 5 новых на­прав­ле­ний. Рас­смот­рим те­перь пря­мые A₃A₁, A₄A₁₄, ..., A₈A₁₀. Все они имеют одно на­прав­ле­ние, от­лич­ное от семи, ука­зан­ных выше. Ше­стью по­сле­до­ва­тель­ны­ми по­во­ро­та­ми этих пря­мых на угол во­круг цен­тра 14-уголь­ни­ка по­лу­чим еще 6 новых на­прав­ле­ний пря­мых, про­хо­дя­щих через вер­ши­ны пра­виль­но­го 14-уголь­ни­ка. Оста­ет­ся за­ме­тить, что любая пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок с кон­ца­ми в вер­ши­нах пра­виль­но­го 14-уголь­ни­ка, имеет одно из пе­ре­чис­лен­ных 14 на­прав­ле­ний, а имен­но, если между кон­ца­ми от­рез­ка лежит чет­ное число вер­шин, то одно из пер­вых семи на­прав­ле­ний, а если не­чет­ное, то одно из по­след­них семи на­прав­ле­ний.

Со­еди­ним все от­ме­чен­ные вер­ши­ны от­рез­ка­ми; их число равно Если не­ко­то­рые три от­рез­ка имеют одно на­прав­ле­ние, то не­ко­то­рые 2 из них яв­ля­ют­ся ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции. В самом деле, если па­рал­ле­ло­грамм впи­сан в окруж­ность, то он пря­мо­уголь­ник, при­чем его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны стя­ги­ва­ют оди­на­ко­вое число сто­рон мно­го­уголь­ни­ка (см. ре­ше­ние п. а)). Сле­до­ва­тель­но, если вер­ши­ны каких-либо двух из трех от­рез­ков дан­но­го на­прав­ле­ния лежат в вер­ши­нах та­ко­го пря­мо­уголь­ни­ка, то концы лю­бо­го из этих двух от­рез­ков и тре­тье­го от­рез­ка лежат в вер­ши­нах тра­пе­ции.

Пусть те­перь для каж­до­го из 14 на­прав­ле­ний име­ет­ся не более 2 от­рез­ков из 21 про­ве­ден­ных. Это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ют не менее семи на­прав­ле­ний, для каж­до­го из ко­то­рых есть ровно 2 па­рал­лель­ных от­рез­ка с кон­ца­ми в от­ме­чен­ных точ­ках. Рас­смот­рим любое на­прав­ле­ние, для ко­то­ро­го есть два таких от­рез­ка. Обо­зна­чим их AB и CD. Если они не яв­ля­ют­ся ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции, то это сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка, по­это­му от­рез­ки AC и BD па­рал­лель­ны и при­над­ле­жат пер­пен­ди­ку­ляр­но­му на­прав­ле­нию. Сле­до­ва­тель­но, все на­прав­ле­ния, для ко­то­рых име­ют­ся 2 от­рез­ка, рас­па­да­ют­ся на пары вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных, а зна­чит, число на­прав­ле­ний, для каж­до­го из ко­то­рых есть ровно 2 па­рал­лель­ных от­рез­ка с кон­ца­ми в от­ме­чен­ных точ­ках, не мень­ше 8, а со­от­вет­ству­ю­щие пары вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных от­рез­ков яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми не менее 4 раз­лич­ных пря­мо­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках. По­сколь­ку все вер­ши­ны каж­до­го пря­мо­уголь­ни­ка раз­би­ва­ют­ся на пары диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных, а среди 7 от­ме­чен­ных точек хотя бы одна та­ко­ва, что диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ная ей точка не от­ме­че­на, по­лу­ча­ем, что вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ков могут рас­по­ла­гать­ся не более чем в 6 из от­ме­чен­ных точек. Но может су­ще­ство­вать не более трех раз­лич­ных пря­мо­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в 6 дан­ных точ­ках окруж­но­сти, по­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие.

Итак, какие бы семь или более вер­шин пра­виль­но­го 14уголь­ни­ка мы ни от­ме­ти­ли, все­гда най­дет­ся тра­пе­ция с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках.

Ответ: а) да; б) нет.

Ком­мен­та­рий.

В 1981 году участ­ни­кам Мос­ков­ской ма­те­ма­ти­че­ской олим­пи­а­ды пред­ла­га­лось до­ка­зать, что если у пра­виль­но­го 1981-уголь­ни­ка от­ме­че­ны 64 вер­ши­ны, то су­ще­ству­ет тра­пе­ция с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках. До­ка­за­тель­ство было ос­но­ва­но на том, что ко­ли­че­ство от­рез­ков с кон­ца­ми в от­ме­чен­ных точ­ках равно

что боль­ше, чем 1981. Может по­ка­зать­ся, что если среди вер­шин пра­виль­но­го n-уголь­ни­ка от­ме­че­ны k точек, при­чем то среди от­ме­чен­ных точек обя­за­тель­но най­дут­ся че­ты­ре, яв­ля­ю­щи­е­ся вер­ши­на­ми тра­пе­ции. Ока­зы­ва­ет­ся, что это не так: на­при­мер, при и имеем но среди вер­шин пра­виль­но­го 14-уголь­ни­ка можно от­ме­тить 6 точек так, что ни­ка­кие че­ты­ре из них не будут вер­ши­на­ми тра­пе­ции, так как любой че­ты­рех­уголь­ник с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках, име­ю­щий две па­рал­лель­ные сто­ро­ны, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.