РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 4410 Добавить в вариант

Для каких натуральных чисел n найдется такое натуральное k, что число $2k в квадрате плюс k плюс 2018$ делится на n! (как обычно, n! обозначает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n, например, $4! = 1 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4 правая круглая скобка ?$

(А. Храбров)

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим остатки от деления числа $2 k в квадрате плюс k$ на 5: $2 умножить на 0 в квадрате плюс 0=0$ дает остаток 0, $2 умножить на 1 в квадрате плюс 1=3$ дает остаток 3, $2 умножить на 2 в квадрате плюс 2=10$ дает остаток 0, $2 умножить на 3 в квадрате плюс 3=21$ дает остаток 1 и $2 умножить на 4 в квадрате плюс 4=36$ дает остаток 1. Следовательно, остаток числа $2 k в квадрате плюс k$ от деления на 5 не может быть равен 2. Стало быть, $2 k в квадрате плюс k плюс 2018$ не может делиться на 5. Поскольку при $n больше или равно 5$ число n! делится на 5, числа $n больше или равно 5$ заведомо не подходят. Для остальных натуральных n такое k предъявить несложно, например, подойдет $k=14,$ так как

$2 умножить на 14 в квадрате плюс 14 плюс 2018=2424=24 умножить на 101$

делится на 4!.

Ответ: $n = 1, 2, 3, 4.$

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Алгебра: числа. Произведения и факториалы

Спрятать решение · Помощь