Назовем положительное число a близким сверху положительному числу b, если a превосходит b, но не больше чем на 1%. Докажите, что если в треугольнике радианная мера одного из углов близка сверху к радианной мере другого угла, то найдутся две стороны этого треугольника такие, что длина одной из них близка сверху к длине другой.
Пусть радианная мера угла 
близка сверху радианной мере угла 
то есть 
Покажем, что длина стороны a близка сверху длине стороны b. Поскольку напротив большего угла лежит большая сторона, достаточно доказать, что 
В силу убывания функции 
(школьники должны доказать это*), получаем: 
Так как 
то 
По теореме синусов 
откуда
* — доказательство убывания на 
:
Действительно, 
Следовательно, функция 
убывает на отрезке и y(0) = 0. То есть 
на отрезке 