Пред­по­ло­жим про­тив­ное: где Если оба числа m₁ и n₁ де­лят­ся на 11, то раз­де­лим это ра­вен­ство на куб мак­си­маль­ной сте­пе­ни 11, ко­то­рая делит од­но­вре­мен­но и m₁, и n₁, пусть это 11^s. Тогда по­лу­чим где и хотя бы одно из чисел и не де­лит­ся на 11. Зна­чит, оба этих числа не де­лят­ся на 11, так как иначе сумма не де­ли­лась бы на 11.

По­сколь­ку

и число 11 про­стое, по­лу­ча­ем и где и По­это­му

Из ра­вен­ства сле­ду­ет, что от­ку­да Зна­чит, mn де­лит­ся на 11, а по­это­му одно из чисел m или n де­лит­ся на 11. Про­ти­во­ре­чие.

Это ре­ше­ние можно окон­чить иначе. Если и где то числа m и −n дают оди­на­ко­вые не­ну­ле­вые остат­ки при де­ле­нии на 11: но тогда и снова по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

Ответ: нель­зя.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть, от про­тив­но­го,

Тогда и где k, l  — целые не­от­ри­ца­тель­ные. По­сколь­ку

для всех на­ту­раль­ных m и n, то

от­ку­да что не­воз­мож­но для целых чисел.