Левая часть f(x) в этом урав­не­нии пред­став­ля­ет собой мно­го­член сте­пе­ни так как ко­эф­фи­ци­ент при равен Если n четно, то по­лу­ча­ем мно­го­член не­чет­ной сте­пе­ни, он все­гда имеет дей­стви­тель­ный ко­рень, так как функ­ция f(x) не­пре­рыв­на и при до­ста­точ­но боль­шом

Пусть n не­чет­но. Можно счи­тать, что все числа a₁, ..., a_n раз­лич­ны (в про­тив­ном слу­чае число где яв­ля­ет­ся кор­нем), не равны нулю (если при не­ко­то­ром i, то и и упо­ря­до­че­ны по воз­рас­та­нию: За­ме­тим, что

имеет тот же знак, что и Но при среди чисел есть хотя бы одна пара со­сед­них, име­ю­щих оди­на­ко­вый знак. Тогда зна­че­ния в этих точ­ках раз­но­го знака, по­это­му между ними есть ко­рень мно­го­чле­на

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По­ло­жим

и

Если среди чисел a₁, a₂, ..., a_n есть хотя бы одно ну­ле­вое, то и утвер­жде­ние за­да­чи до­ка­за­но. Пусть те­перь среди этих чисел нет ну­ле­вых. Тогда и

Зна­чит, тогда и толь­ко тогда, когда

Имеем

где

Сле­до­ва­тель­но,

и тогда и толь­ко тогда, когда

Если то и утвер­жде­ние за­да­чи до­ка­за­но. Иначе

и, сле­до­ва­тель­но, между и лежит ко­рень про­из­вод­ной мно­го­чле­на Q(t) (так как на ин­тер­ва­ле най­дет­ся либо точка ми­ни­му­ма, либо точка мак­си­му­ма Q(t)). Зна­чит, урав­не­ние имеет дей­стви­тель­ный ко­рень t₀. По­сколь­ку

имеем Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет дей­стви­тель­ный ко­рень Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.