Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC — в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника MXY, касается ω.
Заметим, что MX и MY — средние линии треугольников BCE и BCD (см. рисунок), поэтому
и 
Тогда
По свойству касательной и секущей к окружности имеем 
откуда
Аналогично получаем
Деля одно на другое и пользуясь тем, что 
находим
Получаем, что треугольники BAC и XMY подобны по углу и отношению прилежащих сторон.
Лемма (обратная теорема об угле между касательной и хордой). Пусть в треугольнике PQR угол Q равен углу между отрезком PR и прямой ℓ, проходящей через R, как на рисунке. Тогда прямая ℓ касается описанной окружности треугольника PQR. Доказательство леммы. Проведем прямую 
касающуюся окружности в точке R. Тогда по теореме об угле между хордой и касательной угол между прямой 
и отрезком PR тоже равен углу Q треугольника. Отсюда следует, что 
и совпадают. Лемма доказана.
Тогда
Получается, что в описанной окружности треугольника XMY угол, опирающийся на хорду XM, равен углу между хордой XM и прямой BC. Используя лемму, заключаем, что прямая BC касается окружности, описанной вокруг треугольника XMY. Это и означает, что рассматриваемые окружности касаются.