За­ме­тим, для каж­до­го дей­ствия есть об­рат­ное ему. По­это­му если мы из си­ту­а­ции A, дей­ствуя по пра­ви­лам, по­лу­чи­ли си­ту­а­цию B, то из си­ту­а­ции B можем по­лу­чить си­ту­а­цию A, дей­ствуя по пра­ви­лам.

По­ка­жем по ин­дук­ции, что если есть запас в n кам­ней, то, дей­ствуя по вы­ше­ука­зан­ным пра­ви­лам, можно по­ло­жить ка­мень в любую клет­ку от 1 до

База ин­дук­ции: Оче­вид­но.

Пе­ре­ход ин­дук­ции. До­пу­стим, мы до­ка­за­ли, что при по­мо­щи за­па­са в n кам­ней можно по­ло­жить ка­мень во все клет­ки до -й. Пусть те­перь есть n чер­ных кам­ней и один крас­ный ка­мень. Будем дей­ство­вать сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

1)  не вы­ни­мая крас­ный ка­мень из мешка, до­бьем­ся того, чтобы в -й клет­ке ока­зал­ся чер­ный ка­мень. Это можно сде­лать по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции;

2)  по­ло­жим крас­ный ка­мень в 2ⁿ-ю клет­ку;

3)  про­ве­дем опе­ра­ции как в пунк­те 1), но про­ти­во­по­лож­ные и в об­рат­ном по­ряд­ке. По­нят­но, что крас­ный ка­мень не по­ме­ша­ет это сде­лать. В конце ока­жет­ся, что все чер­ные камни снова лежат в мешке, а на по­лос­ке ровно один ка­мень  — крас­ный ка­мень в клет­ке 2ⁿ. До­го­во­рим­ся, что далее мы крас­ный ка­мень уби­рать не будем;

4)  клет­ки с но­ме­ра­ми от до об­ра­зу­ют по­лос­ку дли­ной К ней при­ме­ни­мо пред­по­ло­же­ние ин­дук­ции для n кам­ней, так как крас­ный ка­мень поз­во­ля­ет со­вер­шать опе­ра­ции с самой левой клет­кой этой по­лос­ки. По­это­му можно по­ло­жить ка­мень в по­след­нюю клет­ку.

Таким об­ра­зом, имея запас в 10 кам­ней, можно по­ло­жить ка­мень во все клет­ки с но­ме­ра­ми от 1 до

Ответ: да.

Ком­мен­та­рий.

На самом деле до­ста­точ­но по­лос­ки дли­ной 1000. Дей­стви­тель­но, за­ме­тим, что среди кле­ток с но­ме­ра­ми от 1000 до 1023 самый пер­вый ка­мень будет по­ло­жен в клет­ку с но­ме­ром 1000. То есть, чтобы по­ло­жить ка­мень в 1000-ю клет­ку, клет­ки с но­ме­ра­ми от 1001 до 1023 ис­поль­зо­вать не обя­за­тель­но, а зна­чит, при за­па­се в 10 кам­ней можно по­ло­жить ка­мень в по­след­нюю клет­ку по­лос­ки дли­ной 1000.