Внутри четырехугольника ABCD взяли точку P. Прямые BC и AD пересекаются в точке X. Оказалось, что прямая XP является внешней биссектрисой углов APD и 
Пусть PY и PZ — биссектрисы треугольников APB и DPC. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.
Рассмотрим треугольник PBC и внешнюю биссектрису XP угла BPC, треугольник APB и биссектрису PY угла APB, треугольник PCD и биссектрису PZ угла DPC, треугольник APD и внешнюю биссектрису XP угла APD. Из свойства биссектрисы
Пусть прямая XY пересекает отрезок AC в точке R (см. рисунок). Используя теорему Менелая для треугольника ABC и прямой XYR, получаем:
Применяя теорему Менелая для треугольника ACD, получаем, что точки Z, R, X лежат на одной прямой. Остается вспомнить, что точка Y тоже лежит на этой прямой.
Приведем другое решение.
Пусть прямая XP пересекает AB и CD в точках S и T соответственно (см. рисунок). По условию
Запишем равенства двойных отношений:
Значит, прямые XZ и XY совпадают, что и требовалось.