Пусть ребро ис­ход­но­го куба, из ко­то­ро­го по­лу­чил­ся ку­бо­ок­та­эдр, равно 1. Рас­смот­рим се­че­ния ку­бо­ок­та­эд­ра плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию куба, на рас­сто­я­нии от ос­но­ва­ния. В се­че­нии будут по­лу­чать­ся вось­ми­уголь­ни­ки, все углы ко­то­рых равны 135°. Для до­ка­за­тель­ства этого факта до­ста­точ­но рас­смот­реть точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с реб­ра­ми куба (см. ри­су­нок). Най­дем зна­че­ние h, при ко­то­ром со­сед­ние сто­ро­ны по­лу­ча­ю­ще­го­ся в се­че­нии вось­ми­уголь­ни­ка равны, тогда он ока­жет­ся пра­виль­ным. Длина x сто­ро­ны, ко­то­рая лежит в грани куба, на­хо­дит­ся из про­пор­ции

Дру­гая сто­ро­на  — это ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, длина ко­то­рой равна По­это­му до­ста­точ­но по­тре­бо­вать, чтобы вы­пол­ня­лось ра­вен­ство

то есть

Итак, пра­виль­ный вось­ми­уголь­ник в се­че­нии по­лу­чить­ся может.

Пред­по­ло­жим, что в се­че­нии ку­бо­ок­таәдра не­ко­то­рой плос­ко­стью α по­лу­чил­ся пра­виль­ный n-уголь­ник и Тогда вер­ши­ны этого n-уголь­ни­ка долж­ны ле­жать на ребpax ку­бо­ок­та­эд­ра, при­чем од­но­му ребру не может при­над­ле­жать более двух вер­шин n-уголь­ни­ка. Рас­смот­рим се­че­ние ис­ход­но­го куба, ко­то­рое яв­ля­ет­ся пра­виль­ным ше­сти­уголь­ни­ком (на ри­сун­ке за­кра­ше­но серым), а также се­че­ния, ко­то­рые по­лу­ча­ют­ся из дан­но­го по­во­ро­том на 90°, 180° и 270° от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси куба. За­ме­тим, что объ­еди­не­ние сто­рон этих че­ты­рех пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков есть объ­еди­не­ние всех ребер ку­бо­ок­та­эд­ра. По­ка­жем, что на сто­ро­нах ка­ко­го-то из че­ты­рех вы­бран­ных пра­виль­ных ше­сти­уголь­ни­ков лежит хотя бы 3 вер­ши­ны n-уголь­ни­ка. Дей­стви­тель­но, если на сто­ро­нах каж­до­го та­ко­го ше­сти­уголь­ни­ка лежит не более двух вер­шин, то всего вер­шин будет не более вось­ми. Сле­до­ва­тель­но, плос­кость се­че­ния n-уголь­ни­ка сов­па­да­ет с плос­ко­стью этого ше­сти­уголь­ни­ка и в се­че­нии ку­бо­ок­та­эд­ра по­лу­ча­ет­ся ше­сти­уголь­ник. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

Ответ: 8.