РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 4521 Добавить в вариант

На прямой l отмечены точки A, B и C. Точка B лежит между точками A и C и $AB меньше BC.$ Две окружности $\omega_1$ и $\omega_2,$ радиусы которых больше AB, но меньше BC, лежат по разные стороны от прямой l и касаются ее в точке B. Пусть K  — точка пересечения касательной к $\omega_1,$ проведенной из точки A, и касательной к $\omega_2,$ проведенной из точки C, а L  — точка пересечения касательной к $\omega_2,$ проведенной из точки A, и касательной к $\omega_1,$ проведенной из точки C. Докажите, что четырехугольник AKCL  — описанный.

(Фольклор)

Спрятать решение

Решение.

Пусть касательные из точки A к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются их в точках A₁ и A₂ соответственно, а касательные из точки C к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются их в точках C₁ и C₂ соответственно. Обозначим точку пересечения прямых AA₁ и CC₁ через E, а точку пересечения прямых AA₂ и CC₂ через F. Докажем, что невыпуклый четырехугольник AECF  — описанный. Для этого проверим, что $A E плюс C F=A F плюс C E:$

$A E плюс C F=A A_1 плюс E A_1 плюс C C_2 плюс F C_2=A B плюс E A_1 плюс C B плюс F C_2=$
$=A A_2 плюс E A_1 плюс C C_1 плюс F C_2=A A_2 плюс E C_1 плюс C C_1 плюс F A_2=A F плюс C E .$ $A E плюс C F=A A_1 плюс E A_1 плюс C C_2 плюс F C_2=$
$=A B плюс E A_1 плюс C B плюс F C_2=A A_2 плюс E A_1 плюс C C_1 плюс F C_2=$
$=A A_2 плюс E C_1 плюс C C_1 плюс F A_2=A F плюс C E .$ $A E плюс C F=A A_1 плюс E A_1 плюс C C_2 плюс F C_2=$
$=A B плюс E A_1 плюс C B плюс F C_2=$
$=A A_2 плюс E A_1 плюс C C_1 плюс F C_2=$
$=A A_2 плюс E C_1 плюс C C_1 плюс F A_2=A F плюс C E .$

Но тогда выпуклый четырехугольник AKCL описан вокруг той же окружности.

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Помощь