РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 4522 Добавить в вариант

Найдите все значения параметров a и b, для которых неравенство

$|x в квадрате плюс ax плюс b| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$

выполняется для всех значений $x принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .$

(Р. Алишев)

Спрятать решение

Решение.

Наибольшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\left|x в квадрате плюс a x плюс b|$ на отрезке $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка$ достигается в критических точках внутри отрезка или на концах. Тогда

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в квадрате плюс a x плюс b, знаменатель: \left|x в квадрате плюс a x плюс b| конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 x плюс a правая круглая скобка ,$

критическими являются корни уравнения $x в квадрате плюс a x плюс b=0$ и $x= минус 0,5 a.$ В нуле и единице неравенство должно быть выполнено. Поэтому $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =|b| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби$ и $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =|a плюс b плюс 1| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$ Отсюда несложно получить следующие ограничения на a и b:

$минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ $\quad дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби плюс b \leqslant минус a меньше или равно дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби плюс b меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,$

то есть $минус 0,5 a принадлежит левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .$ Для корней уравнения $x в квадрате плюс a x плюс b=0$ исходное неравенство, очевидно, будет выполняться. Все допустимые значения параметров находим из решения системы:

$система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,|a плюс b плюс 1| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , \left| минус дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс b| меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .$

Построим на плоскости все точки, удовлетворяющие каждому из неравенств. По абсциссе отложим значения параметра a, по ординате  — параметра b.

Только точка $левая круглая скобка минус 1; 0,125 правая круглая скобка$ входит в решение каждого из неравенств. Докажем более строго, что нет других решений системы

$система выражений минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , минус a минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b \leqslant минус a минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби , дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b меньше или равно дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .$

Если $a в квадрате больше 1,$ то из первого и третьего неравенства получим:

$b меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b,$

что невозможно. Если же $a в квадрате меньше 1,$ то

$b \leqslant минус a минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби меньше дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно b,$

что тоже не имеет решения. При $a в квадрате =1$ из третьего неравенства сразу получим $b= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ а затем со второго $a= минус 1.$

Ответ: $a= –1,$ $b = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Анализ. Применение производной при решении неравенств, Задачи с параметрами. Графики, Задачи с параметрами. Неравенства

Спрятать решение · Помощь