На высоте AH остроугольного треугольника ABC отмечена точка L. Оказалось, что 
Точка P — основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AL. Докажите, что прямая KL касается описанной окружности треугольника CLP.
(М. Стынян)
Первое решение. Через точку K проведем прямую, параллельную стороне BC. Обозначим через D точку её пересечения со стороной AC. Тогда по теореме Фалеса
Следовательно, прямые DL и AB параллельны. Поэтому треугольники ABC и DLC подобны и, значит, 
и 
Пусть точка L лежит между точками B и H. Обозначим через E точку пересечения прямых AH и BP. Тогда в треугольнике ABE прямые AH и BP являются высотами. Значит, точка L является ортоцентром треугольника ABE.
Поэтому прямая EL также является высотой и, значит, EL перпендикулярно прямым AB и DL. Через точку C проведем прямую, параллельную AH, точки её пересечения с прямыми BE и LE через F и G соответственно.
Поскольку L — ортоцентр треугольника ABE,
Аналогично,
Стало быть, треугольники ALB и EFG подобны по двум углам.
Значит,
По теореме Фалеса для прямых AE и CG имеем
Отметим также, что из параллельности прямых KD и HC следует равенство
Соберем все полученные отношения вместе:
Отсюда следует, что треугольники LGF и LDK подобны,
последнее равенство следует из того, что прямая KD параллельна прямой BL и прямая DL параллельна прямой AB. Тогда 
и, значит, угол между прямыми KL и LF равен углу между прямыми LD и LG, таким образом, прямые KL и LF перпендикулярны.
Осталось заметить, что поскольку 
четырехугольник CLPF является описанным и отрезок LF является диаметром окружности, описанной вокруг него. Тогда отрезок LF является и диаметром описанной окружности треугольника CLP, а поскольку он перпендикулярен прямой KL, она является касательной к этой окружности.
Если точка L лежит между точками C и H, то вычисление углов для проверки подобия треугольников ALB и EFG немного изменится. А именно, в треугольнике ABL прямые AH и BP являются высотами. Значит, точка E является ортоцентром треугольника ABL. Тогда
и 
Второе решение. Пусть прямая BP пересекает описанную окружность треугольника CLP в точке F. Равенство углов 
очевидно. Отсюда вытекает подобие треугольников ALH и BFC. Рассмотрим поворотную гомотетию с коэффициентом 
и углом 
переводящую треугольник ALH в треугольник BFC. Эта гомотетия точку K переведет в точку L, а точку L — в точку F. Поэтому прямые 
и 
перпендикулярны, так как переходят друг в друга. 
является диаметром окружности, а KL перпендикуляр, следовательно, касательная.
Третье решение. Достаточно доказать, что KL образует с секущей AL угол, равный 
Равенство углов очевидно. Высоты треугольника ABL обрат но пропорциональны сторонам:
Откуда нехитрыми преобразованиями получаем
Тогда треугольники AKL и BPC подобны по второму признаку. Их соответствующие углы ALK и BCP равны, чего и требовалось.