Для на­ча­ла при­ведём при­мер 44 чисел, сумма ко­то­рых равна 0, а сумма их квад­ра­тов равна 42. На­при­мер, по­дой­дут числа

До­ка­жем те­перь, что мень­ше чем 44 чис­ла­ми обой­тись не удаст­ся. Пред­по­ло­жим про­тив­ное. Тогда среди всех чисел или по­ло­жи­тель­ных, или от­ри­ца­тель­ных не более 21. До­мно­жая, если не­об­хо­ди­мо, все числа на −1, можно счи­тать, что от­ри­ца­тель­ных чисел не более 21.

Пусть y₁, y₂, ..., y_k  — все от­ри­ца­тель­ные числа, а y_k + 1, ..., y_n  — все не­от­ри­ца­тель­ные числа. Тогда

a

Скла­ды­вая по­лу­чен­ные не­ра­вен­ства, по­лу­ча­ем,

Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: 44.