РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 465 Добавить в вариант

Найдите все четверки натуральных чисел (k, l, m, n), которые удовлетворяют равенству k! + l! = m! − n!.

Решение.

Исходное уравнение можно переписать в виде k! + l! + n! = m!. Пусть k, l, m, n  — натуральные числа, удовлетворяющие исходному уравнению. Обозначим за M наибольшее из чисел k, l, n. Тогда

$1 меньше или равно M меньше mиmM! меньше или равно m левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка !=m!=k! плюс l! плюс n! меньше или равно 3M! .$

Следовательно, $mM! меньше или равно 3M!,т. е.m меньше или равно 3.$

При m = 3 получим 3! = 3M! = k! + l! + n!, которое выполнено только при k = l = n = M = 2. При M = 2 уравнение не имеет решений: $M! = 2 меньше 3 меньше или равно k! плюс l! плюс n!.$

Аналогично, нет решений при M = 1.

Ответ: {(k, l, m, n): (2, 2, 3, 2)}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
При верном ответе решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые незначительные обоснования.	±	10
Решение содержит верную общую схему решения. Нет полного обоснования равенства чисел k, l и n. Ответ верный.	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении. ИЛИ Ответ верный, но решение отсутствует или неверное.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. Произведения и факториалы

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь