РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4657 Добавить в вариант

Определить, при каком значении m область определения функции

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2mx минус x в квадрате плюс 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 1 минус x конец аргумента$

состоит из одной точки.

Спрятать решение

Решение.

Функция определена на множестве:

$система выражений 2 m x минус x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 5 больше или равно 0 , 1 минус x больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус 2 m x минус 5 меньше или равно 0, x меньше или равно 1. конец системы .$

Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы парабола $y=x в квадрате минус 2 m x минус 5$ либо имела единственный корень, не превосходящий 1, либо имела 2 корня, меныший из которых был бы равен 1. Эти условия выполнимы, если

$система выражений D = 0 , x_ b меньше или равно 1 , конец системы .$ или $система выражений y левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =0, x_b больше 1 . конец системы .$

Здесь $D=4 m в квадрате плюс 20$   — дискриминант квадратного выражения, a $x_b=m$   — абсцисса вершины параболы.

1.   $система выражений 4 m в квадрате плюс 20=0, \text не имеет решения при m принадлежит R , m меньше или равно 1; конец системы .$

2.   $система выражений 1 минус 2 m минус 5=0, m больше 1 конец системы . равносильно система выражений минус 2 m минус 4=0, m= минус 2, m больше 1 конец системы . равносильно система выражений m= минус 2,m больше 1 конец системы . \Rightarrow \varnothing.$

Ответ: решений нет.

Олимпиада Газпром, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Свойства функций

Спрятать решение · Помощь