сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 4686
i

Точка O лежит внут­ри рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Рас­сто­я­ние от нее до вер­ши­ны A пря­мо­го угла равно 5, до вер­ши­ны B равно 7, до вер­ши­ны C равно 3. Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим по­во­рот во­круг точки A на угол 90°, ко­то­рый пе­ре­во­дит точку C в точку B. Пусть при этом по­во­ро­те точка O пе­ре­хо­дит в точку D; тогда от­ре­зок BD яв­ля­ет­ся об­ра­зом от­рез­ка CO; по­сколь­ку при по­во­ро­те длина от­рез­ков не ме­ня­ет­ся, B D=C O=3. По­лу­ча­ем четырёхуголь­ник OADB, в ко­то­ром O A=A D=5, B D=3, O B=7, \angle O A D=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (см. чертёж). Даль­ше можно рас­суж­дать не­сколь­ки­ми спо­со­ба­ми.

Спо­соб I. Рас­смот­рим си­сте­му ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой точка O имеет ко­ор­ди­на­ты (0, 0), точка A имеет ко­ор­ди­на­ты (5, 0), точка D  — ко­ор­ди­на­ты (5, −5). Найдём ко­ор­ди­на­ты точки B левая круг­лая скоб­ка x, y пра­вая круг­лая скоб­ка , учи­ты­вая, что O B=7 и D B=3, тот есть

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =49, левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =9. конец си­сте­мы .

Вы­чи­тая из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­ча­ем 10 x минус 10 y минус 50=40, от­ку­да x минус y=9. Под­став­ляя x=y плюс 9 в пер­вое урав­не­ние, по­лу­ча­ем

2 y в квад­ра­те плюс 18 y плюс 32=0 рав­но­силь­но y в квад­ра­те плюс 9 y плюс 16=0,

от­ку­да

y= дробь: чис­ли­тель: минус 9 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 9 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку точка B долж­на ле­жать по ту же сто­ро­ну от­но­си­тель­но AD, что и точка O, то

y= дробь: чис­ли­тель: минус 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= дробь: чис­ли­тель: 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

На­ко­нец,

S= дробь: чис­ли­тель: A B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 9 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 9 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та .

Спо­соб II. Для на­ча­ла за­ме­тим, что OD=5 ко­рень из 2 , \angle ODA=45 гра­ду­сов . Обо­зна­чим \angle ODB=\varphi. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ODB имеем

 ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: O D в квад­ра­те плюс B D в квад­ра­те минус O B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на O D умно­жить на B D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те минус 7 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,

а тогда

 синус \varphi= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 34 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Те­перь, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ADB, по­лу­ча­ем

 S= дробь: чис­ли­тель: A B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A D в квад­ра­те плюс B D в квад­ра­те минус 2 умно­жить на A D умно­жить на B D умно­жить на ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка \varphi плюс 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5 умно­жить на 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус \varphi минус синус \varphi, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть A B=A C=x, \angle O A B=\varphi . По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков OAB и OAC имеем:

7 в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те минус 10 x ко­си­нус \varphi, 3 в квад­ра­те =x в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те минус 10 x синус \varphi,

от­ку­да

10 x ко­си­нус \varphi=x в квад­ра­те минус 24, 10 x синус \varphi=x в квад­ра­те плюс 16.

Воз­во­дя эти не­ра­вен­ства в квад­рат, после сло­же­ния, по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние на x2:

 100 x в квад­ра­те =2 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16 x в квад­ра­те плюс 832 рав­но­силь­но x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 58 x в квад­ра­те плюс 416=0.

Кор­ня­ми этого урав­не­ния яв­ля­ют­ся  x_1, 2 в квад­ра­те =29 \pm 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та . За­ме­тим, что 29 минус 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та мень­ше 25, и в этом слу­чае x мень­ше A O, то есть точка О не будет ле­жать внут­ри тре­уголь­ни­ка, по­это­му

S= дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та .

 

План тре­тье­го ре­ше­ния.

От­ра­зим точку O сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но сто­рон AB, AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC; обо­зна­чим об­ра­зы через X, Y и Z со­от­вет­ствен­но. (см. рис.) Тогда A Y=A X=A O, C Y=C Z=C O, B X=B Z=B O. Про­стым счётом углов убеж­да­ем­ся, что

\angle Y C Z=2 \angle A C B=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , \angle X B Z=2 \angle A B C=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,  \angle X A Y=2 \angle B A C=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка XYCZB в два раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC. С дру­гой сто­ро­ны, пло­щадь XYCZB скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­ди двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков YCZ и XBZ, в ко­то­рый нам из­ве­стен катет, а также тре­уголь­ни­ка XYZ, у ко­то­ро­го нам из­вест­ны все сто­ро­ны, по­это­му его пло­щадь мы можем найти, на­при­мер, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой Ге­ро­на.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 4685: 4686 Все