РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4716 Добавить в вариант

При каких значениях параметра a уравнение

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x в квадрате плюс левая круглая скобка 2a плюс 1 правая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка x в квадрате плюс 3ax плюс 2a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше 4?

Спрятать решение

Решение.

Перепишем исходное уравнение в виде

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 a плюс 1 правая круглая скобка x минус 2 a правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 3 a x плюс 2 a в квадрате правая круглая скобка .$

Заметим, что это уравнение эквивалентно системе

$система выражений 2 x в квадрате плюс левая круглая скобка 2 a плюс 1 правая круглая скобка x минус 2 a=x в квадрате плюс 3 a x плюс 2 a в квадрате , x в квадрате плюс 3 a x плюс 2 a в квадрате больше 0 конец системы .$

или

$система выражений x в квадрате минус левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x минус 2 a левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка =0, \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 a правая круглая скобка больше 0. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы .$

По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения (1) являются числа $x_1=2 a$ и $x_2= минус a минус 1.$ Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия:

$система выражений левая круглая скобка 2 a плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 2 a плюс 2 a правая круглая скобка больше 0, левая круглая скобка минус a минус 1 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка минус a минус 1 плюс 2 a правая круглая скобка больше 0, 2 a не равно q минус a минус 1, конец системы .$

то есть $a не равно q 0,$ $a не равно q минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $a меньше 1.$ Сумма квадратов x₁ и x₂ должна быть больше 4, то есть

$4 a в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 4 равносильно 5 a в квадрате плюс 2 a минус 3 больше 0,$

откуда $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .$ Пересекая все четыре полученных условия, получаем ответ.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Необходимые и достаточные условия, Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь