РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 473 Добавить в вариант

Среднее арифметическое $дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби$ и среднее геометрическое $корень из: начало аргумента: xy конец аргумента$ двух положительных целых чисел x и y являются двузначными числами. Одно из этих двузначных чисел получается из второго перестановкой цифр. Найдите разность x − y, если x > y.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби =\overlineab,$ а $корень из: начало аргумента: xy конец аргумента =\overlineba,$ тогда получаем

$система выражений дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби =10a плюс b, корень из: начало аргумента: xy конец аргумента =10b плюс a конец системы . равносильно система выражений x плюс y=2 левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка ,xy= левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 2xy плюс y в квадрате =4 левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка в квадрате ,4xy=4 левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате . конец системы .$ $система выражений дробь: числитель: x плюс y, знаменатель: 2 конец дроби =10a плюс b, корень из: начало аргумента: xy конец аргумента =10b плюс a конец системы . равносильно система выражений x плюс y=2 левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка ,xy= левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс 2xy плюс y в квадрате =4 левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка в квадрате ,4xy=4 левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате . конец системы .$

Вычитая из первого уравнения последней системы второе, получаем:

$x в квадрате минус 2xy плюс y в квадрате =4 левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате =4 левая круглая скобка левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$ $x в квадрате минус 2xy плюс y в квадрате =4 левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате =$
$= левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате =4 левая круглая скобка левая круглая скобка 10a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 10b плюс a правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка =$

$=4 левая круглая скобка 9a минус 9b правая круглая скобка левая круглая скобка 11a плюс 11b правая круглая скобка =6 в квадрате умножить на 11 умножить на левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка .$

Итак, $левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка в квадрате =6 в квадрате умножить на 11 умножить на левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка .$ Следовательно, (a − b)(a + b) делится на 11. Поскольку a и b являются цифрами, то

$система выражений a минус b=1,a плюс b=11 конец системы . равносильно система выражений a=6,b=5. конец системы .$

Таким образом, получаем (x − y)² = 6² · 11², а x − y = 66.

Ответ: 66.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ.	±	10
Решение задачи, содержит значительное продвижение в верном направлении. Решение не завершено или получен неверный ответ в результате неверного рассуждения.	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь