сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Найти ра­ди­ус кру­го­во­го ко­ну­са наи­боль­ше­го объ­е­ма, если пло­щадь его бо­ко­вой по­верх­но­сти равна S= Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та  см2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту h, об­ра­зу­ю­щую l, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния r.

Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра свя­зы­ва­ет между собой эти три ве­ли­чи­ны: l в квад­ра­те =h в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те . Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са из­вест­на: S= Пи r l= Пи r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка . От­сю­да

h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: Пи в квад­ра­те умно­жить на r в квад­ра­те конец дроби минус r в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Объем ко­ну­са вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой:

V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в квад­ра­те h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус Пи в квад­ра­те r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Не­об­хо­ди­мо по­до­брать такое зна­че­ние r, объем V(r) был наи­боль­ший. Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем это вы­ра­же­ние

V в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус Пи в квад­ра­те r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: r левая круг­лая скоб­ка минус 4 Пи в квад­ра­те r в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус Пи в квад­ра­те r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: S в квад­ра­те минус 3 Пи в квад­ра­те r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: S в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус Пи в квад­ра­те r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Тогда V в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка =0, то есть

S в квад­ра­те минус 3 Пи в квад­ра­те r в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 \Rightarrow r= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та Пи конец дроби конец ар­гу­мен­та =1.

Убе­дим­ся, что най­ден мак­си­мум функ­ции про­вер­кой знака про­из­вод­ной:

а)  если r мень­ше 1, то V в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, V(r) воз­рас­та­ет;

б)  если r боль­ше 1, то V в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка r пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, V(r) убы­ва­ет, зна­чит, V_\max левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: Пи ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024