сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть L, M, N  — точки ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти со сто­ро­на­ми BC, AB, CD со­от­вет­ствен­но; пусть I  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Ра­ди­ус окруж­но­сти обо­зна­чим через r. Сразу за­ме­тим, что D N=D K=4 (пер­вое ра­вен­ство из ра­вен­ства от­рез­ков ка­са­тель­ных), от­ку­да C L=C N=C D минус D N=2 (пер­вое ра­вен­ство из ра­вен­ства от­рез­ков ка­са­тель­ных, вто­рое оче­вид­но).

По­сколь­ку I яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис внут­рен­них углов тра­пе­ции, то

\angle I A D плюс \angle I D A= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка \angle D A B плюс \angle A D C пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где пред­по­след­нее ра­вен­ство сле­ду­ет из па­рал­лель­но­сти пря­мых AB и CD. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AID пря­мо­уголь­ный и \angle A I D=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Ана­ло­гич­но, пря­мо­уголь­ным яв­ля­ет­ся и тре­уголь­ник BIC.

Далее, по­сколь­ку IK и IL яв­ля­ют­ся ра­ди­у­са­ми, про­ведёнными к точ­кам ка­са­ния, то \angle I K D=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и \angle I L B=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, IK и IL  — вы­со­ты в тре­уголь­ни­ках AID и BIC со­от­вет­ствен­но. Вос­поль­зу­ем­ся из­вест­ным фак­том, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке квад­рат вы­со­ты, опу­щен­ной на ги­по­те­ну­зу, рав­ня­ет­ся про­из­ве­де­нию от­рез­ков, на ко­то­рые она делит ги­по­те­ну­зу. Тогда

 I K в квад­ра­те =A K умно­жить на K D=16 умно­жить на 4=64=8 в квад­ра­те ,

то есть r=I K=8, а также

8 в квад­ра­те =I L в квад­ра­те =C L умно­жить на L B=2 умно­жить на L B,

то есть L B=32.

 

Ответ: 432.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет
За­да­ча не ре­ша­лась0