В трапецию ABCD вписана окружность радиуса 4, касающаяся основания AB в точке M. Найдите площадь трапеции, если BM = 16 и CD = 3.
Пусть K, L, N — точки касания вписанной окружности со сторонами AD, BC, CD соответственно; пусть I — центр вписанной окружности. Сразу заметим, что 
Поскольку I является точкой пересечения биссектрис внутренних углов трапеции, то
где предпоследнее равенство следует из параллельности прямых AB и CD. Следовательно, треугольник AID прямоугольный и 
Аналогично, прямоугольным является и треугольник BIC.
Далее, поскольку IK и IL являются радиусами, проведёнными к точкам касания, то 
и 
Следовательно, IK и IL — высоты в треугольниках AID и BIC соответственно. Воспользуемся известным фактом, что в прямоугольном треугольнике квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равняется произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Тогда
то есть 
По равенству отрезков касательных имеем 
откуда
В прямоугольном треугольнике AID получаем
то есть 
Теперь у нас есть всё для нахождения площади. Заметим, что LM является высотой трапеции и 
и
откуда ответ 
Ответ: 108.