Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На стороне AC правильного треугольника ABC отмечена её середина M. На стороне BC отметили точку L, а на стороне AB — точку K, так что сумма длин ML + LK + KC минимальна. Найдите отношение KB : KA.
Решение.
Спрятать критерииОтразим точки A и M относительно BC, получим точки A' и M'. Затем отразим точку C относительно A'B и получим точку C'.
В силу симметрии точек ML + LK + KC = ML + LK' + K'C', а минимальное значенние этой суммы достигается, когда точки M, L, K' и C' лежат на одной прямой.
По теореме Фалеса AM = 2K'B, поэтому KB : KA = K'B : K'A' = 1 : 3.
Ответ: 1 : 3.
?
Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год