сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Точки A1, B1, C1  — точки пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний высот ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с опи­сан­ной во­круг ABC окруж­но­стью. Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник A1B1C1, ка­са­ет­ся одной из сто­рон ABC, а один из углов тре­уголь­ни­ка ABC равен 50°. Най­ди­те два дру­гих угла тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Не ума­ляя общ­но­сти, пусть окруж­ность ω, впи­сан­ная в A1B1C1, ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC. Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC, K  — точка ка­са­ния ω и BC, L  — точка ка­са­ния ω и A1C1. Мы со­би­ра­ем до­ка­зать, что тре­уголь­ник HBC1 рав­но­сто­рон­ний. Тогда

\angle B A C=\angle B C_1 C=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да с учётом усло­вия и будет сле­до­вать ответ.

Для на­ча­та за­ме­тим, что H есть точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка A1B1C1. Дей­стви­тель­но, на­при­мер,

\angle B_1 C_1 C=\angle B_1 B C=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle C=\angle C A A_1=\angle C C_1 A_1,

то есть C1H  — бис­сек­три­са угла A1C1B1; ана­ло­гич­но про­ве­ря­ют­ся и то, что A1H и B1H также яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми со­от­вет­ству­ю­щих углов. Сле­до­ва­тель­но, H  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A1B1C1 и H K=H L. Кроме того, выше до­ка­за­но, что \angle H C_1 L=\angle H B K, то есть пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки HC1L и HBK равны по ка­те­ту и остро­му углу. По­это­му H C_1=H B.

Оста­лось за­ме­тить, что H B=B C_1. Этот факт хо­ро­шо из­ве­стен и может быть до­ка­зан раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми. При­ведём здесь лишь один из них. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки А Н B и A C_1 B равны по сто­ро­не (общая сто­рон а AB) и двум углам

\angle H A B=\angle A_1 B_1 B=\angle C_1 B_1 B=\angle C_1 A B;

ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ем, что \angle H B A=\angle C_1 B A.

 

Ответ: 60° и 70°.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБалл
Вер­ное ре­ше­ние без су­ще­ствен­ных не­до­че­тов+
В целом за­да­ча ре­ше­на, хотя и с не­до­че­та­ми+ −
За­да­ча не ре­ше­на, но есть за­мет­ное про­дви­же­ние− +
За­да­ча не ре­ше­на, за­мет­ных про­дви­же­ний нет
За­да­ча не ре­ша­лась0

Аналоги к заданию № 4840: 4841 Все