РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 487 Добавить в вариант

Последовательность действительных чисел a_n такова, что a_{n + 1} = a_n(a_n + 4) + 2 для всех натуральных n. Найдите минимальное возможное значение числа a₂₀₂₀.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $a_n плюс 1=a_n левая круглая скобка a_n плюс 4 правая круглая скобка плюс 2 равносильно a_n плюс 1 плюс 2= левая круглая скобка a_n плюс 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Пусть b_n = a_n + 2. Тогда из равенства a_{n + 1} + 2 = (a_n + 2)² следует, что b_{n + 1} = b_n² и b_n = b₁^{2^{n − 1}}. Таким образом, получаем

$b_2020=b_1 в степени левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно a_2020= левая круглая скобка a_1 плюс 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка правая круглая скобка минус 2 \Rightarrow a_2020 больше или равно минус 2.$

При a₁ = −2 достигается минимальное значение a₂₀₂₀ = −2.

Ответ: −2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	12
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования. Ответ верный. ИЛИ Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования или в результате описки или арифметической ошибки найден неверный ответ.	±	8
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Дана верная оценка снизу для a₂₀₂₀. Не показано, что данная оценка достигается.	+/2	6
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь