РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4981 Добавить в вариант

Числа a, b и c таковы, что каждое из двух уравнений $x в квадрате плюс bx плюс a=0$ и $x в квадрате плюс cx плюс a=1$ имеет по два целых корня, при этом все эти корни меньше (−1). Найдите наименьшее значение a.

Спрятать решение

Решение.

По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно a, произведение корней второго уравнения равно $a минус 1.$ Ввиду того, что корни целые и меньше −1, их произведение больше 1, поэтому каждое из двух последовательных чисел $a минус 1$ и a является произведением двух различных целых чисел, больших 1. Так как первое нечетное число, не являющееся простым или квадратом простого, это 15, то получается $a минус 1=14,$ то есть $a=15.$ Тогда корни первого уравнения −3 и −5 (при этом $b=8 правая круглая скобка ,$ корни второго уравнения −2 и −7 (при этом $c=9 правая круглая скобка .$

Ответ: 15.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Задача №3 (В1−В4) = 15 баллов	Плюсы-минусы	Балл
Правильно использована теорема Виета, верные рассуждения про произведение корней, ответ неверен из-за арифметической ошибки. Или анализируются только произведения корней, получены верные значения a, но не доказано, что исходное уравнения имеют корни. Корни нужно либо предъявить, либо доказать существование двух корней в каждом из уравнений.	±	10
Правильно использована теорема Виета, ошибка в рассуждения хо произведениях корней.	±	5

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь