Не­мно­го рас­суж­де­ний, из­бы­точ­ных для ре­ше­ния этой за­да­чи По­ка­жем ин­дук­ци­ей по i, что m_i  — это наи­мень­шее на­ту­раль­ное число n_i, для ко­то­ро­го База: для удоб­ства будем счи­тать 0 на­ту­раль­ным чис­лом, и все по­сле­до­ва­тель­но­сти тоже на­чи­нать с ну­ле­во­го члена. Тогда, во-пер­вых, по­сколь­ку и 0  — пер­вое на­ту­раль­ное число с таким свой­ством, по­сколь­ку оно про­сто пер­вое. С дру­гой сто­ро­ны, по­сколь­ку и опять же, 0  — пер­вое на­ту­раль­ное число с этим свой­ством. Итак,

Пе­ре­ход. Пусть Тогда для всех на­ту­раль­ных чисел k из от­рез­ка имеем из опре­де­ле­ния Но тогда С дру­гой сто­ро­ны,

то есть Итак,

Пункт а). Из при­ве­ден­ных выше рас­суж­де­ний сле­ду­ет си­сте­ма не­ра­венств (самая левая)

Пре­об­ра­зу­ем как на­пи­са­но выше, благо все числа по­ло­жи­тель­ны. Имеем, что усло­вие вы­пол­ня­ет­ся для лю­бо­го та­ко­го что лежит в по­лу­ин­тер­ва­ле

От­ме­тим, что для ре­ше­ния за­да­чи не обя­за­тель­но опи­сы­вать мно­же­ство всех таких (как сде­ла­но выше), до­ста­точ­но ука­зать одно, на­при­мер, и до­ка­зать, что оно под­хо­дит.

Пункт б). Дей­ствуя ана­ло­гич­но, имеем:

При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, что что до­ка­зы­ва­ет что та­ко­го не су­ще­ству­ет.

Ответ: а)  да; б)  нет.