Лемма. В гри­ши­ной сумме могут быть учте­ны те и толь­ко те числа α, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции об­ра­ща­ет­ся в ноль, при­чем каж­дое такое α может быть по­счи­та­но мак­си­мум для одно c_i.

До­ка­за­тель­ство. Как из­вест­но, число α яв­ля­ет­ся крат­ным кор­нем мно­го­чле­на T(x) если и толь­ко если α яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на T(x) и его про­из­вод­ной Пусть α — крат­ный ко­рень имеем левую из си­стем:

Пер­вая рав­но­силь­ность за­слу­жи­ва­ет по­яс­не­ний: из урав­не­ния (*) если что и то не­воз­мож­но по­сколь­ку мно­го­чле­ны вза­им­но-про­сты. Если же то де­ле­ние на него яв­ля­ет­ся рав­но­силь­ным пе­ре­хо­дом, а с од­но­знач­но на­хо­дит­ся из (*). Вто­рой пе­ре­ход  — про­сто по­де­ли­ли на Q(x).

Оста­лось за­ме­тить, что

это в точ­но­сти про­из­вод­ная

Итак, мы по­лу­чи­ли что все числа, по­счи­тан­ные в гри­ши­ной сумме, это корни мно­го­чле­на

ко­то­рый имеет не более чем 4020 сте­пень (при взя­тии про­из­вод­ной сте­пень мно­го­чле­на умень­ша­ет­ся на еди­ни­цу, при пе­ре­мно­же­нии мно­го­чле­нов - скла­ды­ва­ет­ся, при вы­чи­та­нии не уве­ли­чи­ва­ет­ся), по­ка­жем что T(x) не может быть тож­де­ствен­но нулем (на самом деле по­ка­жем, что сте­пень ровно 4020). Пусть p₂₀₂₁ и q₂₀₀₀  — стар­шие (а зна­чит не­ну­ле­вые) ко­эф­фи­ци­ен­ты мно­го­чле­нов и Q(x) со­от­вет­ствен­но. Тогда ко­эф­фи­ци­ент при есть

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли оцен­ку свер­ху: сумма не может быть боль­ше 4020.

Оста­лось по­стро­ить при­мер, когда сумма равна 4020. Возь­мем P(x) и Q(x) та­ки­ми, что все их корни ве­ще­ствен­ны, раз­лич­ны и все корни P(x), лежат левее всех кор­ней Q(x). Тогда есть 2020 от­рез­ков между со­сед­ни­ми кор­ня­ми P(x), на каж­дом из этих от­рез­ков функ­ция не­пре­рыв­на (все корни зна­ме­на­те­ля пра­вее), равна нулю в кон­цах от­рез­ка и не равна нулю в осталь­ных точ­ках, зна­чит, в какой-то точке про­из­вод­ная при­ни­ма­ет ну­ле­вое зна­че­ние по тео­ре­ме Ролля  — нашли 2020 нулей про­из­вод­ной. Те­перь по­смот­рим на ин­тер­ва­лы между со­сед­ни­ми кор­ня­ми Q(x), и также на от­кры­тый луч от са­мо­го пра­во­го из них до плюс бес­ко­неч­но­сти. На каж­дом ин­тер­ва­ле функ­ция не­пре­рыв­на, не ме­ня­ет знак (по­сколь­ку не при­ни­ма­ет ну­ле­во­го зна­че­ния  — все корни чис­ли­те­ля лежат левее), в кон­цах ин­тер­ва­лов f(x) стре­мить­ся к бес­ко­неч­но­сти (по­сколь­ку это корни чис­ли­те­ля), при ана­ло­гич­но f(x) стре­мит­ся к бес­ко­неч­но­сти, по­сколь­ку сте­пень чис­ли­те­ля боль­ше сте­пе­ни зна­ме­на­те­ля. Зна­чит, на каж­дом из про­ме­жут­ков мо­дуль до­сти­га­ет ми­ни­му­ма во внут­рен­ней точке, там про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в ноль (аль­тер­на­тив­но можно вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой Ролля для функ­ции   — нашли еще 2000 нулей про­из­вод­ной.

Ответ: 4020.