РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5155 Добавить в вариант

Три окружности с центрами в точках A, B и C и радиусами 6, 4 и 3 соответственно касаются друг друга внешним образом в точках D, E и F. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания D, E и F.

Спрятать решение

Решение.

Докажем, что окружность, проходящая через точки касания D, E и F, вписана в треугольник ABC.

Установим равенство углов, отмеченных на рисунке дугами $левая круглая скобка \angle F D E=\angle A E F правая круглая скобка :$

$\angle F D E=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D B минус \angle E D C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: \angle B плюс \angle C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A, знаменатель: 2 конец дроби =\angle A E F.$ $\angle F D E=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D B минус \angle E D C=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: \angle B плюс \angle C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A, знаменатель: 2 конец дроби =\angle A E F.$

Далее установим, что искомая окружность с центром в точке O касается стороны AC треугольника в точке E:

$\angle O E A=\angle O E F плюс \angle F E A= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F O E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на \angle F D E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D E плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle O E A=\angle O E F плюс \angle F E A= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F O E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на \angle F D E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D E плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle O E A=\angle O E F плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F O E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на \angle F D E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D E плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Аналогично доказываются касания с двумя другими сторонами треугольника в точках D и F.

Тогда радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле

$r= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: левая круглая скобка p минус a правая круглая скобка левая круглая скобка p минус b правая круглая скобка левая круглая скобка p минус c правая круглая скобка , знаменатель: p конец дроби конец аргумента ,$

где

$a=A B=6 плюс 4=10 ;$ $b=B C=4 плюс 3=7 ;$ $c=A C=6 плюс 3=9;$ $p= дробь: числитель: 10 плюс 7 плюс 9, знаменатель: 2 конец дроби =13.$

Следовательно,

$r= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3 умножить на 6 умножить на 4, знаменатель: 13 конец дроби конец аргумента =6 умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 13 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 72, знаменатель: 13 конец дроби конец аргумента =2,35339 \ldots$

Ответ: $r=6 умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 13 конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 72, знаменатель: 13 конец дроби конец аргумента =2,35339 \ldots$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования.	±	10
Ответ получен, но не приведено доказательство основного факта «вписанности» окружности в треугольник	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Аналоги к заданию № 5143: 5155 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности и системы окружностей

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь