сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Числа x, y и z по­ло­жи­тель­ны, а их про­из­ве­де­ние равно 1. До­ка­жи­те не­ра­вен­ство:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3y плюс 5z конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y плюс 3z плюс 5x конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z плюс 3x плюс 5y конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 3 левая круг­лая скоб­ка ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: xy в кубе z в сте­пе­ни 5 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: yz в кубе x в сте­пе­ни 5 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: zx в кубе y в сте­пе­ни 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­ме­ним к числу x плюс 3 y плюс 5 z не­ра­вен­ство о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­нем гео­мет­ри­че­ском для 9 чисел: од­но­го числа x, трёх чисел y и пяти чисел z. По­лу­чим

x плюс 3 y плюс 5 z боль­ше или равно 9 ко­рень 9 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ана­ло­гич­ные не­ра­вен­ства при­ме­ним и к осталь­ным под­ко­рен­ным вы­ра­же­ни­ям. Таким об­ра­зом,

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 y плюс 5 z конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y плюс 3 z плюс 5 x конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z плюс 3 x плюс 5 y конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 3 левая круг­лая скоб­ка ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Снова при­ме­няя не­ра­вен­ство о сред­нем ариф­ме­ти­че­ском и сред­нем гео­мет­ри­че­ском, на этот раз для трёх кор­ней 18 сте­пе­ни, по­лу­ча­ем

боль­ше или равно 3 левая круг­лая скоб­ка ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: y z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень 18 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 9 ко­рень 54 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 конец ар­гу­мен­та y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 пра­вая круг­лая скоб­ка z в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 9 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =9.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Ча­стич­ные про­дви­же­ния не оце­ни­ва­ют­ся.

Не­ра­вен­ства о сред­них можно ис­поль­зо­вать без до­ка­за­тель­ства.

Утвер­жде­ние о том, что ми­ни­мум суммы двух или трёх чисел при фик­си­ро­ван­ном про­из­ве­де­нии счи­тать из­вест­ным. эк­ви­ва­лент­но за­да­че и тре­бу­ет до­ка­за­тель­ства.

Утвер­жде­ние о том, что ми­ни­мум суммы кор­ней до­сти­га­ет­ся когда x=y=z прак­ти­че­ски эк­ви­ва­лент­но за­да­че и тре­бу­ет до­ка­за­тель­ства.

За ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, не­су­ще­ствен­но вли­я­ю­щие на ход ре­ше­ния  — сни­мать 1 балл. (Чаще всего в этой за­да­че ариф­ме­ти­че­ская ошиб­ка рушит всё до­ка­за­тель­ство, нужно при­ме­нять этот кри­те­рий очень осто­рож­но).


Аналоги к заданию № 516: 524 Все

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024