РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5193 Добавить в вариант

Параболы Р и S являются графиками функций $y=kx в квадрате$ и $y=kx в квадрате плюс b,$ где b > 0 соответственно. Доказать, что любая хорда параболы P, касающаяся параболы S, делится этой точкой касания на два равных отрезка.

Спрятать решение

Решение.

Пусть хорда АВ параболы Р касается параболы S в точке М с координатами $левая круглая скобка x_0, k x_0 в квадрате плюс b правая круглая скобка .$ Выпишем уравнение прямой AB:

$y=2 k x_0 левая круглая скобка x минус x_0 правая круглая скобка плюс k x_0 в квадрате плюс b=2 k x_0 x минус k x_0 в квадрате плюс b,$

абсциссы x₁ и x₂ точек А и В её пересечения с параболой P являются решениями уравнения

$2 k x_0 x минус k x_0 в квадрате плюс b=k x в квадрате ,$

то есть квадратного уравнения

$k x в квадрате минус 2 k x_0 x плюс k x_0 в квадрате минус b=0.$

По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна

$x_1 плюс x_1= минус дробь: числитель: минус 2 k x_0, знаменатель: k конец дроби =2 x_0.$

Следовательно, середина отрезка АВ имеет абсциссу $дробь: числитель: x_1 плюс x_2, знаменатель: 2 конец дроби =x_0$ и совпадает с М. Что требовалось доказать.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Верно выписано уравнение касательной к S: 2 балла. Верно записано уравнение для нахождения абсцисс точек А и B: 1 балл.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Анализ. Касательная

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь