На сторонах АВ и АС треугольника АВС выбраны соответственно точки М и Р такие, что отрезок РМ параллелен стороне ВС. Из точки М восстановлен перпендикуляр к прямой АВ, а из Р восстановлен перпендикуляр к АС, их точку пересечения обозначена за Т. Доказать, что точки А, Т и О — центр описанной окружности треугольника АВС — лежат на одной прямой.
Утверждение задачи равносильно тому, что угол САО равен углу САТ. Сначала рассмотрим случай, когда угол ABC не больше 90 градусов.
1) Найдём угол САО. В описанной окружности треугольника АВС угол АВС является вписанным, а угол АОС — соответствующим ему центральным, поэтому величина АОС равна удвоенной величине ABC. Из равнобедренного треугольника АОС получаем, что величина САО равна 90 − АВС.
2) Найдём угол САТ. Заметим, что четырёхугольник АМТР является вписанным в окружность с диаметром AT, поэтому вписанные углы 
и РMT равны, как опирающиеся на общую хорду РТ. А угол РМТ равен углу РMB минус 90 градусов, С учётом параллельности МР и ВС, 
следовательно,
Таким образом, углы САО и САТ равны, откуда следует утверждение задачи.
В случае, когда величина угла АВС больше 90 градусов, рассуждения проводятся по той же схеме со следующими поправками: величина САО равна 
и
минус 90 градусов: 1 балл. Равенство 
1 балл. Не рассмотрен случай, когда величина угла АВС больше 90 градусов: снимаем 1 балл.