По кругу записаны 32 числа a1, a2, ..., a32, каждое из которых равно −1 или 1. За одну операцию каждое число an, n = 1, 2, ..., 32 заменяют на произведение anan+1 его и следующего за ним по циклу числа, при этом индексы рассматриваются циклически, a33 = a1, a34 = a2 и так далее. Докажите, что для любого начального набора чисел a1, a2, ..., a32 после некоторого конечного числа операций всегда получится набор из 32 единиц. Найдите наименьшее число N операций такое, что после применения N операций из любого начального набора чисел всегда получится набор из 32 единиц.
Покажем индукцией по n, что, если по кругу записаны 2n чисел, то ответ задачи равен 2n. База индукции 
рассматривается несложно: либо 
либо 
в любом случае двух операций всегда достаточно, а меньше — не всегда.
Шаг индукции. Пусть по кругу записаны 
чисел и утверждение верно для любых 2n плюс-минус единиц по кругу. Рассмотрим отдельно множества А, из 2n чисел, стоящих на местах с нечётными индексами и 
заменится на произведение
так как 
Отсюда следует, что, в результате выполнения двух операций на исходном множестве из чисел множества А и В меняются так, как если бы на каждом из них было выполнено по одной операции. По предположению индукции, для того, чтобы получить вместо множеств А и В множества из одних единиц, достаточно 2n операций, следовательно, чтобы получить все единицы из исходного множества, достаточно вдвое большего числа операций, то есть 
операций. Примером множества чисел, для которого необходимо ровно операций, является множество из 31 единицы и одной минус единицы. После двух операций оно даст аналогичные множества чисел А и В, для которых, по индукции, нужно ровно 2n операций, значит, для исходного множества их нужно ровно 
При количестве чисел 
число необходимых операций рано 32.
Ответ: 32.