РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5208 Добавить в вариант

Найти все целые числа n такие, что число $15n в квадрате минус 2n минус 1$ является степенью двойки.

Спрятать решение

Решение.

Пусть n удовлетворяет условию задачи, разложим

$15 n в квадрате минус 2 n минус 1= левая круглая скобка 5 n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 n минус 1 правая круглая скобка ,$

тогда оба сомножителя $5 n плюс 1$ и $3 n минус 1$ тоже являются степенями двойки, как легко видеть, различными и отличными от 1 и −1 при $n не равно q 0, минус 1.$ Случай $n= минус 1$ очевидно, подходит, а $n=0$ не подходит. Из чётности чисел $5 n плюс 1$ и $3 n минус 1$ следует нечётность n. Сложим $5 n плюс 1$ и $3 n минус 1$ и получим, что при $n больше 0$ число 8n, а при $n меньше 0$ число −8n является суммой двух различных неединичных степеней двойки и делится ровно на 8. Отсюда следует, что минимальная из этих степеней, совпадающая с $3 n минус 1$ при $n больше 0$ или $минус 3 n плюс 1$ при $n меньше 0,$ равна 8, значит, n  =  3  — единственное отличное от $n= минус 1$ решение задачи.

Ответ: n  =  3 и $n= минус 1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказано, что $5 n плюс 1$ и $3 n минус 1$ являются степенями двойки: 3 балла. Доказано, что эти степени различны и отличны от 1: 1 балл. Доказано, что n нечётно: 1 балл. Доказано, что минимальная из этих степеней, совпадающая с $3 n минус 1,$ равна 8: 2 балла. Утеряно решение $n= минус 1:$ минус 2 балла.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Алгебра. Действия со степенями, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Алгебра: числа. Чётность / нечётность, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь