Найти все натуральные числа n, которые можно представить в виде суммы 
для некоторых натуральных чисел x и y. Здесь (x, y) и [x, y] обозначают наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел x и y соответственно.
Если оба числа x и y.одной чётности, то все четыре слагаемых x, y, (x, y) и [x, y] имеют ту же чётность и их сумма чётна. Если они имеют разную чётность, то (x, y) нечётно, а [x, y] чётно, потому в сумме будет два чётных и два нечётных числа и она снова будет чётна. Каждое её слагаемое не меньше одного, поэтому вся сумма не меньше 4. Следовательно, ответом задачи может быть только чётное число, большее двух. С другой стороны, для произвольного чётного 
положив 
получим 
и 
откуда 
—
Ответ: все чётные числа, большие двух.
Приведем другое решение.
Если обозначить 
то 
где x1, y1 взаимно просты, значит, одно из них обязательно нечётно. Тогда
где обе скобки не меньше 2 и одна из них обязательно чётна. Следовательно, ответом задачи может быть только чётное число, большее двух. Далее всё как в первом решении.
чётна: 3 балла. Доказано, что n может быть только чётным числом, большим двух: 1 балл. Доказано, что любое чётное число, большее двух, представляется в требуемом виде: 3 балла.