В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы BC, а точки P и T делят катеты AB и AC в отношении
Обозначим за К точку пересечения отрезков ВТ и РM, за E — точку пересечения отрезков СР и МТ, и за О — точку пересечения отрезков СР и ВТ. Доказать, что четырёхугольник ОКME — вписанный.
Докажем задачу двумя способами.
Способ I. Докажем, что сумма углов КОЕ и KME равна 180 градусов. Для этого заметим, что углы CBT и AMT paвны. Действительно, пусть H середина отрезка ТС, тогда 
Треугольник AMC равнобедренный, поэтому треугольники МАТ и MCH равны по одноимённым углам и прилежащим к ним сторонам. Отсюда, в частности, следует равенство углов АMТ и СМН. По обратной теореме Фалеса, ВТ и МН параллельны, поэтому угол СВТ равен углу СMH и углу АMT.
Аналогично, угол ВСР равен углу АМР, поэтому угол KME, равный углу РMT, равен сумме углов СВТ и ВСР. Из треугольника ВОС видно, что последняя сумма равна 180 минус угол ВОС, равный углу КОЕ. Следовательно, сумма углов КМЕ и КОЕ действительно равна 180 и четырёхугольник ОКМЕ — вписанный.
Способ II. Хорошо известно, что четырёхугольник ОКМЕ вписанный тогда и только тогда, когда равны произведения длин секущих ТК и TM на длины их внешних частей TO и TE: 
Выразим длины этих отрезков через длину ВТ.
1. Отметим точку H — середину отрезка ТС, треугольники ВТС и МНС подобны с коэффициентом 2, следовательно, 
Треугольник ТМН равнобедренный, следовательно, 
2. Треугольники CEM и PET подобны с коэффициентом 
следовательно,
3. Треугольники ТКР и ВКМ подобны с коэффициентом 
следовательно, 
4. Треугольники ТОP и ВОС подобны с коэффициентом 
следовательно, 
5. Наконец,
что и требовалось доказать.
Замечание.
Несложно убедиться, что точка О лежит на медиане АМ, но в данном решении это не используется.