Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке M. Прямая MC пересекает окружность S1 в точке A, а окружность S2 — в точке C. Прямая MD пересекает окружность S1 в точке B, а окружность S2 — в точке D. Окружность S3 касается прямой AC в точке C и пересекает луч MD в точках K и D. Докажите, что точки K, B, A и C лежат на одной окружности.
Степень точки M относительно окружности 
равна, с одной стороны, МC 
а с другой — 
откуда 
Градусные меры дуг MA (окружности 
) и 
(окружности 
совпадают, так как равны удвоенному углу между обшей касательной и прямой MA, содержащей обе хорды MA и MC. Отсюда 
равно отношению радиусов окружностей и 
Тому же самому отношению равно и 
откуда 
Подставляя в это равенство ранее полученную формулу для 
получаем
откуда 
Из этого условия как раз и следует, что точки K, B, A и C лежат на одной окружности.