РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 538 Добавить в вариант

График квадратного трехчлена ax² + bx + c с положительным старшим коэффициентом a касается графика его производной. Докажите, что $c больше или равно a.$

Спрятать решение

Решение.

Касание графиков означает, что разность многочлена и производной имеет единственный корень. Пусть трёхчлен равен $a x в квадрате плюс b x плюс c,$ тогда производная  — это $2 a x плюс b.$

Их разность равна $a x в квадрате плюс левая круглая скобка b минус 2 a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка c минус b правая круглая скобка .$ Её дискриминант должен быть равен 0 , то есть

$левая круглая скобка b минус 2 a правая круглая скобка в квадрате минус 4 a левая круглая скобка c минус b правая круглая скобка =0 равносильно b в квадрате =4 a c минус 4 a в квадрате =4 a левая круглая скобка c минус a правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно c больше или равно a.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказано, что $P левая круглая скобка x правая круглая скобка минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет ровно один корень  — 0,5 балла.

Выписана формула для дискриминанта  — ещё 0,5 балла.

Открытая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь