По­сколь­ку

По­пыт­ка до­ка­зать вто­рое не­ра­вен­ство по ин­дук­ции к успе­ху не при­ве­дет (и ино­гда в таких слу­ча­ях школь­ни­ки го­во­рят, что не­ра­вен­ство не­вер­но). Ка­жет­ся па­ра­док­саль­ным, что го­раз­до проще до­ка­зать более силь­ное не­ра­вен­ство:

Дей­стви­тель­но, если обо­зна­чить сумму сто­я­щую в левой части за то легко по­лу­чить сле­ду­ю­щее ре­кур­рент­ное со­от­но­ше­ние: от­ку­да после чего не­ра­вен­ство до­ка­зы­ва­ет­ся без труда.