За­ме­ним в пер­вом про­из­ве­де­нии 504 числа 1011, ..., 2015, 2017 на име­ю­щие те же остат­ки от де­ле­ния на 2019 от­ри­ца­тель­ные числа −1008, ..., −4, −2, а во вто­ром про­из­ве­де­нии 505 чисел 1010, 1012, ..., 2016, 2018 на име­ю­щие те же остат­ки от де­ле­ния на 2019 от­ри­ца­тель­ные числа −1009, 1007, ..., −3, −1. В ре­зуль­та­те пер­вое про­из­ве­де­ние пре­вра­тит­ся в 1009!. а вто­рое  — в −1009!, что в сумме даёт 0. Таким об­ра­зом, ис­ход­ная сумма имеет оста­ток 0 при де­ле­нии на 2019, сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на 2019.