На катетах СА, СВ и гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС вовне него построены равносторонние треугольники АСМ, ВСН и АВР соответственно. Докажите, что длины отрезков СР и МН равны.
Докажем задачу тремя способами.
Способ I. Рассудительно-геометрическое, довольно короткое.
1) Величины углов МСН и МСВ равны 
и 
градусов соответственно, поэтому треугольники МСН и МСВ равны по сторонам 
и углам 
между ними. B частности, 
2) Величины углов САР и МАВ равны 
и 
поэтому треугольники МАB и CAB равны по сторонам 
и 
и углам MAB и CAP между ними. Следовательно, равны и их третьи стороны МВ и CP, то есть 
что и требовалось доказать.
Способ II. Координатно-вычислительное, тоже вполне компактное.
Расположим треугольник ABC на координатной плоскости, поместив вершину С прямого угла в начало координат, катет СА на ось ОХ, катет СВ на координатную ось ОY. Обозначим координаты точек А и В через (a, 0) и (0, b) соответственно, где 
Координаты точек М и Н в таком случае равны
и 
координаты вектора MH равны
а его длина равна 
Координаты точки T — середины гипотенузы АВ равны 
а вектор ТР перпендикулярен вектору 
и в 
раз короче его, поэтому имеет координаты 
Следовательно, вектор СР имеет координаты
и длину 
равную длине вектора МH, что и требовалось доказать.
Способ III. Тригонометрическое.
Обозначим, как в решении 2, длины сторон СА и СВ через a и b соответственно, длину AB — через c, величину угла САВ — через α. По теореме косинусов в треугольнике МСН квадрат длины отрезка МН равен
Длину СР найдём по теореме косинусов в треугольнике САР. Её квадрат равен
то есть совпадает c квадратом длины MH.
или 
3 балла. B координатном и тригонометрических решениях наличие любых ошибок, кроме простейших арифметических в конце вычислений: 0 баллов. При наличии простейших арифметических ошибок: снимаем 1−2 балла.