РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5476 Добавить в вариант

Докажите, что каждое целое число n можно представить в виде $n=a в квадрате плюс b в квадрате минус c в квадрате$ для некоторых натуральных чисел a, b, c.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что $левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус k в квадрате =2 k плюс 1$ для произвольного целого k. Если число $n=2 k$ чётно, то при $k больше или равно 2$ положим

$a=1,$ $b=k,$ $c=k минус 1,$

при $k \leqslant минус 1$ положим $a=1,$ $b= минус k,$ $c= минус k плюс 1,$ a в случаях $k=0,$ $k=1$ положим $0=3 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 5 в квадрате$ или $2=3 в квадрате плюс 3 в квадрате минус 4 в квадрате .$ Если же число $n=2 k плюс 1$ нечётно, то при $k больше или равно 3$ положим $a=2,$ $b=k минус 1,$ $c=k минус 2,$ а при $k меньше или равно 0$ положим

$a=2,$ $b= минус k плюс 1,$ $c= минус k плюс 2.$

При $k=1,$ $k=2$ имеем $3=4 в квадрате плюс 6 в квадрате минус 7 в квадрате$ или $5=4 в квадрате плюс 5 в квадрате минус 6 в квадрате .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Найдены верные представления либо только для всех чётных или либо только для всех нечётных чисел: по 3 балла. Найдены верные представления только для всех натуральных чисел: 3 балла. Упущены представления для некоторого конечного количества исключительных чисел: минус 1−2−3 балла в зависимости от их числа. Нет контроля над натуральностью чисел a, b, c (то есть отличием их от 0): минус 1−2−3 балла в зависимости от числа возникающих ненатуральностей.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Алгебра: числа. Формулы сокращённого умножения, Алгебра: числа. Чётность / нечётность

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь