РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5483 Добавить в вариант

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:

$система выражений xy плюс z плюс t=1,yz плюс t плюс x=3, zt плюс x плюс y= минус 1, tx плюс y плюс z=1. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Вычтем второе уравнение из первого, третье из второго, четвёртое из третьего, первое из четвёртого, разложим каждую разность на множители и получим:

$левая круглая скобка x минус z правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка = минус 2, левая круглая скобка y минус t правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 1 правая круглая скобка =4,$ $левая круглая скобка z минус x правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка = минус 2, левая круглая скобка y минус t правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =0.$

Из второго равенства $y минус t не равно q 0,$ поэтому из четвёртого равенства $x=1.$ Из первого и третьего равенств $x минус z не равно q 0$ и $y минус 1= минус 2=1 минус t,$ откуда $y=2 минус t.$ Подставим найденные выражения в первое и второе уравнения исходной системы, получим $z= минус 1,$ $t=2,$ откуда $y=0.$ Таким образом, получаем единственное решение системы: (1, 0, −1, 2).

Ответ: (1, 0, −1, 2).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Угадан ответ с проверкой: 1 балл. Сделаны вычитания уравнений и решение доведено до стадии $левая круглая скобка x минус z правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка = минус 2,$ ...: 2 балла. Отсюда найден $x=1:$ ещё 1 балл.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 3 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в системах, Алгебра: уравнения и неравенства. Системы линейных уравнений, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь