Пусть a, b, c — натуральные числа. Могут ли наибольшие общие делители пар чисел a и b, b и c, c и a равняться 30! + 111, 40! + 234 и 50! + 666 соответственно?
Предположим, что указанная в условии ситуация возможна. Заметим, что числа 30!, 40! и 50! делятся на 9 очевидным образом, числа 234 и 666 делятся на 9 по признаку, так как их суммы цифр делятся на 9, а вот 111 делится на 3, но не делится на 9. Отсюда следует, что числа 40! + 234 и 50! + 666 делятся на 9, а число 30! + 111 не делится на 9. Таким образом, наибольшие общие делители пар чисел b и c, c и а делятся на 9, откуда следует делимость на 9 чисел a и b. Последнее влечёт делимость на 9 их наибольшего общего делителя, равного 30! + 111, которое, как мы установили, на 9 не делится — противоречие. Следовательно, указанная в условии ситуация невозможна.
Ответ: нет, не могут.
и a и не делимость НОДа пары a и b на 9: 2 балла. Решение приведено без точного обоснования делимости на 9: снимаем 2 балла.