сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Го­ри­зон­таль­ный от­ре­зок длины a боль­ше 0 с кон­ца­ми на гра­фи­ке функ­ции y=x в кубе минус x су­ще­ству­ет тогда и толь­ко тогда, когда урав­не­ние  левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе минус левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус x имеет при дан­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра а хотя бы одно ре­ше­ние. Рас­кры­вая скоб­ки, при­во­дя по­доб­ные и со­кра­щая на a боль­ше 0, по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние 3 x в квад­ра­те плюс 3 a x плюс a в квад­ра­те минус 1=0, ко­то­рое раз­ре­ши­мо при D=12 минус 3 a в квад­ра­те боль­ше или равно 0, от­ку­да 0 мень­ше a мень­ше или равно 2. Сле­до­ва­тель­но, длина ис­ко­мо­го от­рез­ка не пре­вос­хо­дит 2. При a=2 ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся x= минус 1, от­ку­да сле­ду­ет, что длина 2 до­сти­га­ет­ся для от­рез­ка с кон­ца­ми (−1, 0) и (1, 0) на гра­фи­ке функ­ции y=x в кубе минус x.

 

Ответ: 2.

 

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Как в ре­ше­нии выше, по­лу­ча­ем урав­не­ние 3 x в квад­ра­те плюс 3 a x плюс a в квад­ра­те минус 1=0, ко­то­рое рас­смот­рим, как квад­рат­ное от­но­си­тель­но a с па­ра­мет­ром x:  a в квад­ра­те плюс 3 x a плюс 3 x в квад­ра­те минус 1=0. На­хо­дим его корни

a_1, 2= дробь: чис­ли­тель: минус 3 x \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 3 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

ввиду по­ло­жи­тель­но­сти a рас­смат­ри­ва­ем толь­ко тот, что с плю­сом:

a= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 3 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Дан­ная функ­ция от x опре­де­ле­на при |x| мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби и по­ло­жи­тель­на при  минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Её про­из­вод­ная, рав­ная.

a в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 3 x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 3 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 3 x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби

об­ра­ща­ет­ся в ноль при x= минус 1, слева боль­ше ноля, а спра­ва  — мень­ше. Сле­до­ва­тель­но, её зна­че­ние мак­си­маль­но при x= минус 1 и равно a_\max =2. Дей­стви­тель­но, в дан­ном слу­чае от­ре­зок длины 2 со­еди­ня­ет на оси OX два корня x_1= минус 1 и x_2=1 урав­не­ния x в кубе минус x=0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

При­ведён ответ 2 и при­мер от­рез­ка такой длины: 1 балл. От­сут­ствие яв­но­го при­ме­ра в ре­ше­нии: минус 2 балла.