Найти максимальную длину горизонтального отрезка с концами на графике функции
Горизонтальный отрезок длины с концами на графике функции существует тогда и только тогда, когда уравнение имеет при данном значении параметра а хотя бы одно решение. Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на получим квадратное уравнение которое разрешимо при откуда Следовательно, длина искомого отрезка не превосходит 2. При решением уравнения является откуда следует, что длина 2 достигается для отрезка с концами (−1, 0) и (1, 0) на графике функции
Ответ: 2.
Приведем еще одно решение.
Как в решении выше, получаем уравнение которое рассмотрим, как квадратное относительно a с параметром x: Находим его корни
ввиду положительности a рассматриваем только тот, что с плюсом:
Данная функция от x определена при и положительна при Её производная, равная.
обращается в ноль при слева больше ноля, а справа — меньше. Следовательно, её значение максимально при и равно Действительно, в данном случае отрезок длины 2 соединяет на оси OX два корня и уравнения