сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щи­ми фор­му­ла­ми:

 тан­генс x плюс \ctg x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус x ко­си­нус x конец дроби ;

 

\sec x минус ко­си­нус ec x= дробь: чис­ли­тель: синус x минус ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x ко­си­нус x конец дроби .

Введём обо­зна­че­ния: t= синус x ко­си­нус x и A=\sec x минус ко­си­нус ec x. Тогда

A в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x минус 2 ко­си­нус x синус x плюс синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 2 t, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби .

Со­ста­вим квад­рат­ное урав­не­ние 1 минус 2 t минус t в квад­ра­те A в квад­ра­те =0 и решим его от­но­си­тель­ное t:

 t= дробь: чис­ли­тель: минус 1 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: A в квад­ра­те конец дроби .

При A= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та по­лу­ча­ем t= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и t= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . В от­ве­те по­лу­ча­ем об­рат­ные к t ве­ли­чи­ны. Оста­лось убе­дить­ся, что для каж­до­го из по­лу­чен­ных зна­че­ний найдётся x, при ко­то­ром это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при дан­ном A.

Дей­стви­тель­но, t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2 x, по­это­му для лю­бо­го зна­че­ния  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби найдётся под­хо­дя­щий x. Далее, A вы­ра­жа­ет­ся через t с точ­но­стью до знака, при этом оба воз­мож­ных зна­че­ния A до­сти­га­ют­ся при дан­ном t: для того, чтобы по­ме­нять знак A, до­ста­точ­но уве­ли­чить или умень­шить x на π.

 

Ответ: −3 или 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Толь­ко ответ — 0 бал­лов.

В ре­ше­нии не по­ка­за­но, что оба зна­че­ния до­сти­га­ют­ся — сни­мать 1 балл.

По­те­рян один из от­ве­тов — сни­мать 1 балл.

За ариф­ме­ти­че­ские ошиб­ки, не­су­ще­ствен­но вли­я­ю­щие на ход ре­ше­ния, сни­мать 0,5 балла за одну ошиб­ку, сни­мать 1 балл за две ошиб­ки или более.


Аналоги к заданию № 549: 592 Все