РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5496 Добавить в вариант

Последовательность натуральных чисел $a_n, n=1, 2, ...$ такова, что $a_1=1$ и $a_n= дробь: числитель: n плюс 1, знаменатель: n минус 1 конец дроби левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка$ для всех n  =  2, 3, ... . Найти формулу «общего члена последовательности», то есть формулу, явно выражающую

n_a через n при произвольном n.

Спрятать решение

Решение.

Найдём несколько первых членов последовательности: $a_1=1, \quad a_2= дробь: числитель: 3, знаменатель: 1 конец дроби умножить на 1=3 умножить на 1,$ $a_3= дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 правая круглая скобка =8=4 умножить на 2,$ $a_4= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 плюс 8 правая круглая скобка =20=5 умножить на 4$ и сделаем предположение о том, что $a_n= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$ Также вычислим суммы первых членов этой последовательности:

$s_1=a_1=1,$

$s_2=a_1 плюс a_2=1 плюс 3=4=2 умножить на 2,$

$s_3=a_1 плюс a_2 плюс a_3=1 плюс 3 плюс 8=12=3 умножить на 4,$

$s_4=a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4=1 плюс 3 плюс 8 плюс 20=32=4 умножить на 8.$

Сделаем предположение о том, что $s_n=n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$ Докажем сделанные предположения методом математической индукции.

Во-первых,

$a_n плюс 1= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n конец дроби умножить на s_n= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n конец дроби умножить на n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$ $a_n плюс 1= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n конец дроби умножить на s_n= дробь: числитель: n плюс 2, знаменатель: n конец дроби умножить на n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$= левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка$

  — верно. Также

$s_n плюс 1=s_n плюс a_n плюс 1=n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$ $s_n плюс 1=s_n плюс a_n плюс 1=n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка$

  — тоже верно.

Ответ: $a_n= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка .$

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2021 год

Классификатор: Алгебра. Рекуррентные соотношения, Анализ. Последовательности

Спрятать решение · Помощь