РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 5516 Добавить в вариант

Найти все натуральные числа N такие, что $N=p левая круглая скобка N правая круглая скобка плюс s левая круглая скобка N правая круглая скобка ,$ где p(N)  — произведение всех цифр в десятичной записи N, а s(N)  — сумма всех цифр в десятичной записи N.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $N=\overlinea_n a_n минус 1 \ldots a_0$   — десятичная запись $n плюс 1$ -значного числа N, очевидно, N не менее, чем двузначно, поэтому $n больше или равно 1.$ По условию

$N=\overlinea_n a_n минус 1 \ldots a_0=10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка a_n плюс 10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка a_n минус 1 плюс \ldots плюс a_0=a_n a_n минус 1 \ldots a_0 плюс a_n плюс a_n минус 1 плюс \ldots плюс a_0.$ $N=\overlinea_n a_n минус 1 \ldots a_0=10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка a_n плюс 10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка a_n минус 1 плюс \ldots плюс a_0=$
$=a_n a_n минус 1 \ldots a_0 плюс a_n плюс a_n минус 1 плюс \ldots плюс a_0.$

Ввиду того, что $10 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка a_n больше 9 в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка a_n больше или равно a_n a_n a_n минус 1 \ldots a_0,$ отсюда следует, что

$a_n плюс a_n минус 1 плюс \ldots плюс a_0 больше 10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка a_n минус 1 плюс \ldots плюс a_0.$

Перепишем это в виде $a_n больше левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка a_n минус 1 плюс \ldots левая круглая скобка 10 минус 1 правая круглая скобка a_1.$ Если среди цифр N нет нулей, последнее неравенство при $n больше или равно 2$ невозможно, поэтому $n=1.$ Тогда

$N=\overlinea b=10 a плюс b=a b плюс a плюс b равносильно 9 a=a b равносильно b=9,$

a  — любое, получаем серию ответов $19, 29, \ldots, 99.$ Если одна из цифр N равна нулю, то

что невозможно при $n больше или равно 1.$ Значит, этот случай новых ответов не прибавляет.

Ответ: 19, 29,..., 99.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только приведены все ответы: 2 балла. Только приведён какой-то ответ: 1 балл. Проверка ответов, полученных как в решении не обязательна.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (отборочный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Алгебра: числа. Сумма цифр числа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь