РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5521 Добавить в вариант

Определим последовательность $x_1, x_2, x_3, ..., x_100$ следующим образом: пусть x₁  — произвольное положительное число, меньшее 1, и $x_n плюс 1=x_n минус x_n в квадрате$ для всех n  =  1, 2, 3, ..., 99. Докажите, что $x_1 в кубе плюс x_2 в кубе плюс ... плюс x_99 в кубе меньше 1.$

Спрятать решение

Решение.

Докажем сначала, что $1 больше x_1 больше x_2 больше x_3 больше \ldots больше x_100 больше 0.$ Для этого воспользуемся индукцией по $n=1,2,3, \ldots, 99.$ База индукции $x_1 принадлежит левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка$ по условию. Шаг индукции: при $x_n принадлежит левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка$ выполнены неравенства $0 меньше x_n в квадрате меньше x_n,$ поэтому $x_n плюс 1=x_n минус x_n в квадрате меньше x_n меньше 1$ и $x_n плюс 1=x_n минус x_n в квадрате больше 0,$ то есть $x_n плюс 1 принадлежит левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка .$ Ввиду доказанного, $x_n в кубе меньше x_n в квадрате =x_n минус x_n плюс 1 \quad$ для $\quad$ всех $n=1,2,3, \ldots, 99,$ поэтому $x_1 в кубе плюс x_2 в кубе плюс \ldots плюс x_100 в кубе меньше x_1 в квадрате плюс x_2 в квадрате плюс \ldots плюс x_100 в квадрате =$
$=x_1 минус x_2 плюс x_2 минус x_3 плюс \ldots плюс x_99 минус x_100 плюс x_100 в кубе =x_1 минус x_100 плюс x_100 в кубе меньше x_14$ $меньше x_1 меньше 1,$ что и требовалось доказать.